2011年考研数学二真题(2011年考研数学二真题及答案解析)

2011年考研数学二真题,2011年考研数学二真题及答案解析

数列是高中数学的一个重要知识点,也是高考的重要考点。其实,数列所涉及到的知识点并不多,主要有等差数列和等比数列的通项公式、前n项和及常用的性质、递推法求数列通项公式、数列求和等。数列的知识点虽然不多,但是在全国卷中的分值却不低,一般在10到12分,所以对高中生来说,数列是必须要掌握的知识点。

本文就和大家分享一道2011年高考数列真题。这道题是2011年高考理科数学试卷的第20题,也就是第4道解答题,考查的是递推法求数列通项公式以及裂项相消法求和。这是一道非常经典的数列题,可以很好地检验高中生对数列的掌握情况。下面我们一起来看一下这道题。

先看第一小问:求{an}的通项公式。

在高考中求数列的通项公式主要有三种情况:等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、递推法求通项公式。本题中,题干不能直接看出an是等差数列还是等比数列,但是题干告诉了两项之间的关系,所以本题考查的是递推法求数列通项公式。

为了方便理解,我们采用换元法来进行讲解。

令cn=1/(1-an),则题干中的关系式就变成了c(n+1)-cn=1。由于a1=0,所以c1=1/(1-a1)=1,那么数列{cn}就是以1为首项、以1为公差的等差数列。根据等差数列的通项公式可得,cn=1+n-1=n,从而得到{an}的通项公式为an=(n-1)/n。

再看第二小问:证明Sn<1。

由题意可知,Sn是数列{bn}的前n项和,所以我们需要先求出数列{bn}的通项公式,然后再求和。由bn与a(n+1)的关系及第一小问的结论可得,bn=[√(n+1)-√n]/√n√(n+1)。看到这个形式,就可以想到用裂项相消法来求和,即bn=1/√n-1/√(n+1),所以Sn=b1+b2+b3+……+bn=(1-1/√2)+(1/√2-1/√3)+(1/√3-1/2)=……+(1/√n-1/√(n+1))=1-1/√(n+1)。由于n为正整数,所以0<1/√(n+1)≤1/√2,所以有Sn<1。

一般情况下,全国卷对数列的考查难度并不大,只要掌握了方法,数列题就相当于是送分题。所以,如果要想数学考出一个较好的分数,数列是必须掌握并且不能丢分的题目。

这道题就和大家分享到这里,你学会了吗?

发布于:江西省

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